🔢 बीजगणितीय सर्वसमिकाएं और असमिकाएं( Algebraic Identities and Inequalities)

R.S. Chauhan

8/20/2025 • 10 min read

🔢 बीजगणितीय सर्वसमिकाएं और असमिकाएं

परीक्षा की तैयारी से लेकर वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग तक

परिचय (Introduction)

बीजगणितीय सर्वसमिकाएं गणित की वह शाखा है जो हमारे दैनिक जीवन से लेकर उच्च स्तरीय इंजीनियरिंग तक हर जगह काम आती है। ये वे गणितीय सूत्र हैं जो हमेशा सत्य होते हैं, चाहे चर (variables) की कोई भी मान हो।

🎯 बीजगणितीय सर्वसमिकाएं क्यों सीखें?

🏠 दैनिक जीवन में उपयोग

घर की दीवारों की पेंटिंग का क्षेत्रफल निकालना
व्यापार में लाभ-हानि की गणना
बैंकिंग में ब्याज की गणना
इंजीनियरिंग डिज़ाइन में

📚 परीक्षाओं में महत्व

JEE Main & Advanced 15-20%

NEET गणित खंड 10-15%

Banking (SBI, IBPS) 20-25%

SSC, Railway 30%

मुख्य बीजगणितीय सर्वसमिकाएं

1️⃣ द्विपद सर्वसमिकाएं (Binomial Identities)

पहली सर्वसमिका:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

🏡 वास्तविक जीवन का उदाहरण:

मान लीजिए आप एक वर्गाकार बगीचा बना रहे हैं। बगीचे की एक भुजा $(a + b)$ मीटर है।

यदि a = 10 मीटर और b = 5 मीटर है तो:
(10 + 5)² = 10² + 2 × 10 × 5 + 5²
225 = 100 + 100 + 25 = 225 ✅

⚡ त्वरित ट्रिक:

पहले पद का वर्ग + दूसरे पद का वर्ग + 2 × पहला × दूसरा

दूसरी सर्वसमिका:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

💼 व्यावहारिक उदाहरण:

एक कंपनी का मासिक लाभ $(a - b)$ लाख रुपए है, जहाँ a = आय और b = व्यय।

यदि a = 50 लाख, b = 20 लाख:
(50 - 20)² = 50² - 2 × 50 × 20 + 20²
900 = 2500 - 2000 + 400 = 900 ✅

तीसरी सर्वसमिका:

(a + b)(a - b) = a² - b²

🧮 दैनिक जीवन में उपयोग:

दो संख्याओं का गुणनफल जल्दी निकालना:

99 × 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100² - 1² = 10000 - 1 = 9999

2️⃣ त्रिपद सर्वसमिकाएं (Trinomial Identities)

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

🛒 व्यावहारिक उदाहरण:

एक व्यापारी तीन अलग-अलग वस्तुओं की बिक्री करता है। कुल बिक्री = $(a + b + c)$

यदि a = 1000, b = 2000, c = 3000:
(1000 + 2000 + 3000)² = 1000² + 2000² + 3000² + 2(1000)(2000) + 2(2000)(3000) + 2(3000)(1000)
36000000 = 1000000 + 4000000 + 9000000 + 4000000 + 12000000 + 6000000 = 36000000 ✅

एडवांस सर्वसमिकाएं

3️⃣ घन सर्वसमिकाएं (Cube Identities)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

🔧 इंजीनियरिंग में उपयोग:

क्यूब के आयतन की गणना में जब भुजा $(a + b)$ है:

यदि a = 2 सेमी, b = 3 सेमी:
(2 + 3)³ = 2³ + 3 × 2² × 3 + 3 × 2 × 3² + 3³
125 = 8 + 36 + 54 + 27 = 125 ✅

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

💰 व्यापारिक गणना में:

दो वर्षों के लाभ के घन का योग:

यदि a = 10 और b = 5:
10³ + 5³ = (10 + 5)(10² - 10 × 5 + 5²)
1125 = 15 × (100 - 50 + 25) = 15 × 75 = 1125 ✅

4️⃣ चतुर्थ घात सर्वसमिकाएं (Fourth Power Identities)

a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a + b)(a - b)

🔬 फिजिक्स में उपयोग:

तरंग गति और ऊर्जा की गणना में, विशेष रूप से electromagnetic waves में।

असमिकाएं (Inequalities)

🔺 असमिकाओं का परिचय

असमिकाएं वे गणितीय व्यंजक हैं जो दो मानों के बीच तुलना दर्शाती हैं। ये वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

📊 मुख्य चिह्न

> : से बड़ा (Greater than)
< : से छोटा (Less than)
≥ : से बड़ा या बराबर
≤ : से छोटा या बराबर
≠ : बराबर नहीं

🎯 वास्तविक उपयोग

बजट planning में
Production optimization में
Quality control में
Risk assessment में

1️⃣ रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities)

ax + b > 0 या ax + b < 0

💼 व्यापारिक उदाहरण:

एक कंपनी का मासिक लाभ कम से कम ₹50,000 होना चाहिए। यदि प्रति unit लाभ ₹500 है, तो कम से कम कितने units बेचने होंगे?

माना x = बेचे गए units की संख्या
500x ≥ 50000
x ≥ 100
उत्तर: कम से कम 100 units बेचने होंगे

⚡ समाधान की ट्रिक:

1. चर को एक तरफ रखें
2. संख्याओं को दूसरी तरफ
3. ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न बदलें

2️⃣ द्विघात असमिकाएं (Quadratic Inequalities)

ax² + bx + c > 0 या ax² + bx + c < 0

🚗 Engineering Example:

एक car की speed v km/h है। Safety के लिए: $v² - 60v + 800 \leq 0$

v² - 60v + 800 = 0 को solve करने पर:
(v - 20)(v - 40) = 0
v = 20 या v = 40
Safe speed range: 20 ≤ v ≤ 40 km/h

3️⃣ महत्वपूर्ण असमिकाएं (Important Inequalities)

🔸 AM-GM Inequality:

(a + b)/2 \geq \sqrt(ab)

(जब a, b > 0)

📐 Geometric Application:

दो संख्याओं का arithmetic mean हमेशा geometric mean से बड़ा या बराबर होता है।

यदि a = 4 और b = 9:
AM = (4 + 9)/2 = 6.5
GM = √(4 × 9) = 6
6.5 > 6 ✅

🔸 Cauchy-Schwarz Inequality:

(a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) \geq (a₁b₁ + a₂b₂)²

📊 Data Analysis में:

Statistics और machine learning में correlation coefficients की boundaries set करने में उपयोग।

🔸 Triangle Inequality:

|a + b| \leq |a| + |b|

🗺️ Navigation में:

दो बिंदुओं के बीच shortest path निकालने में GPS systems में उपयोग।

परीक्षा की रणनीति और ट्रिक्स

1️⃣ त्वरित गणना की ट्रिक्स

🔢 संख्याओं का वर्ग निकालना:

95² = (100 - 5)² = 100² - 2 × 100 × 5 + 5² = 10000 - 1000 + 25 = 9025
105² = (100 + 5)² = 100² + 2 × 100 × 5 + 5² = 10000 + 1000 + 25 = 11025

✖️ दो संख्याओं का गुणनफल:

97 × 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100² - 3² = 10000 - 9 = 9991
48 × 52 = (50 - 2)(50 + 2) = 50² - 2² = 2500 - 4 = 2496

🎯 असमिकाओं के लिए ट्रिक्स:

Sign Rule: ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय inequality का चिह्न बदल जाता है
Wavy Curve Method: द्विघात असमिकाओं के लिए graph बनाएं
Critical Points: पहले roots निकालें, फिर intervals check करें

2️⃣ पैटर्न पहचानने की ट्रिक

🔍 सममित पद (Symmetric Terms):

जब भी आपको $a² + b² + c² + ab + bc + ca$ जैसा दिखे, तो सोचें:

2(a² + b² + c² + ab + bc + ca) = (a + b + c)²

⚡ फैक्टरization ट्रिक्स:

$a² - b²$ को देखकर तुरंत $(a+b)(a-b)$ सोचें
$a³ + b³$ को देखकर $(a+b)(a² - ab + b²)$ सोचें
$a³ - b³$ को देखकर $(a-b)(a² + ab + b²)$ सोचें

3️⃣ समय प्रबंधन ट्रिक्स

⏰ 30 सेकंड Rule

यदि कोई identity 30 सेकंड में पहचान नहीं आती, तो दूसरे method try करें।

📝 Substitution Method

Complex expressions में $a+b = p$ और $ab = q$ जैसी substitution करें।

🎯 Elimination Method

Multiple choice में wrong options eliminate करके सही answer निकालें।

विभिन्न परीक्षाओं में महत्व

🎓 JEE Main & Advanced

Total Weightage 15-20 अंक

महत्वपूर्ण टॉपिक्स:

Binomial theorem में identities
Complex numbers में applications
Inequalities में AM-GM
Coordinate geometry में

समय बचाने की ट्रिक:

पहले सर्वसमिकाओं को पहचानें, फिर हल करें। Direct substitution से 60% समय बचता है।

🩺 NEET परीक्षा

गणित खंड 10-15%

Focus Areas:

भौतिकी के सूत्रों में भी उपयोग
Chemistry में molecular calculations
Statistics में data analysis

🏦 बैंकिंग परीक्षाएं

क्वांट सेक्शन 20-25%

मुख्य Applications:

Compound Interest calculations
Profit & Loss problems
Partnership और investment
Data Interpretation में

Example: CI = P[(1 + r/100)^t - 1]
यहाँ (1 + r/100)^t को expand करने में identities काम आती हैं

🚂 SSC & Railway

गणित सेक्शन 30%

Time Saving: ये ट्रिक्स 50% समय बचाती हैं

Algebra chapter में direct questions
Geometry problems में area calculations
Number system में approximations

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

1️⃣ व्यापार और वित्त

💹 लाभ की गणना:

कुल लाभ = (बिक्री मूल्य - क्रय मूल्य)²
यदि बिक्री मूल्य = a + b और क्रय मूल्य = a - b
तो लाभ = (a + b)² - (a - b)² = 4ab

🏠 EMI Calculation:

Home loan की EMI calculation में compound interest formula उपयोग होता है:

EMI = [P × r × (1+r)^n] / [(1+r)^n - 1]
यहाँ (1+r)^n को binomial expansion से calculate करते हैं

📊 Risk Assessment में Inequalities:

Investment portfolio में risk management:

High Risk Investment ≤ 30% of total portfolio
Emergency Fund ≥ 6 × Monthly Expenses
Debt to Income Ratio ≤ 40%

2️⃣ इंजीनियरिंग और तकनीक

🌉 पुलों की मजबूती

Bridge design में load distribution के लिए:

Total Load = (L₁ + L₂ + L₃)²
Safety Factor में inequalities: Load ≤ 0.8 × Max Capacity

🏗️ भवन निर्माण

Construction में material calculation:

Wall Area = (l + w)² - (door + window)²
Cement needed ≥ 1.2 × calculated requirement

⚙️ Mechanical Engineering

Gear ratios और machine efficiency में:

Power Transmission = (T₁ + T₂)² / (4T₁T₂)
Efficiency ≥ 85% for optimal performance

3️⃣ कंप्यूटर साइंस और AI

💻 Algorithm Optimization:

Time complexity analysis में:

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)
यहाँ fibonacci series के pattern का उपयोग

🤖 Machine Learning:

Cost function optimization में:

Cost = (1/2m)Σ[h_θ(x^(i)) - y^(i)]²
Constraint: ||θ||₂ ≤ C (regularization)

📡 Signal Processing:

Data compression में Cauchy-Schwarz inequality:

|⟨x, y⟩|² ≤ ||x||² ||y||²
Quality threshold: SNR ≥ 20 dB

अभ्यास के लिए प्रश्न

📘 Level 1: मूलभूत (Basic)

यदि $a + b = 5$ और $ab = 6$ , तो $a² + b²$ का मान निकालें।
$(x + 3)(x - 3)$ को expand करें।
$x² - 9$ को factorize करें।
$97 \times 103$ की गणना identity का उपयोग करके करें।
हल करें: $2x + 5 > 13$

📙 Level 2: मध्यम (Intermediate)

यदि $x + 1/x = 3$ , तो $x² + 1/x²$ का मान निकालें।
$(2x + 3y)² - (2x - 3y)²$ को simplify करें।
यदि $a + b + c = 6$ और $ab + bc + ca = 11$ , तो $a² + b² + c²$ निकालें।
हल करें: $x² - 5x + 6 \leq 0$
सिद्ध करें: $(a+b)/2 \geq \sqrt(ab)$ जब $a, b > 0$

📕 Level 3: एडवांस (Advanced)

यदि $a + b + c = 0$ , तो सिद्ध करें कि $a³ + b³ + c³ = 3abc$
$(a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³)$ का मान निकालें।
यदि $x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0$ , तो $x^(2023)$ का मान निकालें।
हल करें: $(x+1)/(x-2) > 3$
सिद्ध करें: $(a² + b²)(c² + d²) \geq (ac + bd)²$

सफलता के लिए अध्ययन योजना

📅 सप्ताह 1-2: Foundation

मूलभूत सर्वसमिकाओं को याद करें
दैनिक 50 basic problems solve करें
Real-life examples को समझें
असमिकाओं के basic rules सीखें

📅 सप्ताह 3-4: Application

Real-life problems पर focus
Previous year questions practice
Inequalities में graphical method
Time management practice

📅 सप्ताह 5-6: Speed Building

Time-based practice
Mock tests weekly
Shortcut tricks mastery
Error analysis और correction

📅 सप्ताह 7-8: Advanced Topics

Complex identities practice
Competition level problems
AM-GM और other inequalities
Final revision और weak areas

📚 दैनिक अध्ययन routine:

सुबह (30 मिनट): Formula revision और 10 basic problems
दोपहर (45 मिनट): New concepts और medium level problems
शाम (30 मिनट): Previous day revision और mock test
रात (15 मिनट): Weak areas पर focus

🎯 निष्कर्ष

बीजगणितीय सर्वसमिकाएं और असमिकाएं केवल परीक्षा के लिए नहीं, बल्कि जीवनभर काम आने वाला ज्ञान है। इन्हें समझकर और अभ्यास करके आप न केवल परीक्षाओं में सफल होंगे, बल्कि दैनिक जीवन की समस्याओं को भी आसानी से हल कर पाएंगे।

🔑 सफलता के सूत्र:

✅ नियमित अभ्यास करें - consistency is key
✅ पैटर्न पहचानने की कोशिश करें
✅ Real-life examples के साथ connect करें
✅ Speed और accuracy दोनों पर ध्यान दें
✅ Mistakes से सीखें, दोहराएं नहीं
✅ Strong foundation बनाएं, shortcuts बाद में आएंगे

💪 प्रेरणादायक संदेश:

"गणित एक भाषा है जो पूरे ब्रह्मांड में समान है। आज आप जो सीख रहे हैं, वह कल आपको नई ऊंचाइयों तक पहुंचाएगा। हर सवाल एक नई सीख है, हर गलती एक नया अवसर है।"

🌟 अंतिम सलाह:

गणित में डरने की कोई बात नहीं। जैसे-जैसे आप practice करेंगे, वैसे-वैसे confidence बढ़ेगा। Remember: "Practice makes perfect, but perfect practice makes permanent!"

📚 यह ब्लॉग आपकी गणित की journey में एक महत्वपूर्ण step है।
निरंतर अभ्यास और सकारात्मक दृष्टिकोण के साथ आप जरूर सफल होंगे। 🚀

Best of Luck! 🍀 - आपकी सफलता की कामना करते हुए